Bueno, ¿y es forzoso que sea en Delphi? Digo, porque en php es un "poquito" más fácil:
Código PHP:
$rgxp = '#\<textarea name="algo"\>(.*)\</textarea\>#siU';
$contenido = file_get_contents($la_url);
if (preg_match($rgxp, $contenido, $matches))
{
echo htmlspecialchars($matches[1]);
}
// Saludos