Hola, lo que el error mismo te esta diciendo es que estas intentando insertar datos tipos string en un campo de tipo fecha, para mi el problema esta en esta parte:
Código Delphi
[-]EXEC SP_INSERTAR_TAnimal '+ QuotedStr(Cod_Animal)+','+QuotedStr(Cod_Raza)+','+QuotedStr(Cod_pozagalponNac)+','+QuotedStr(Cod_Tip oAnimal)+','+QuotedStr(Fecha_nacimiento)+')
supongo que los datos lo estas sacando por medio de componentes edits y datetimepicker, como dices, entonces creo que deberia ser asi:
Código Delphi
[-]EXEC SP_INSERTAR_TAnimal '+ QuotedStr(Edit1.text)+','+QuotedStr(Edit2.text)+','+QuotedStr(Edit3.text)+','+QuotedStr(Edit4.text)+ ','+QuotedStr(DateTimePicker.Date)+')
que me corrijan los maestros.
Saludos.