Los problemas con las fechas se evitan si se pasan correctamente como parámetros:
Código SQL
[-]
INSERT legajo, duracion, dia INTO tiempotrabajado
VALUES
(:leg, :dura, :hoy)
Código Delphi
[-]
ParamByName('hoy').AsDate := date();
O sea, el valor se pasa como tipo TDate y es el propio componente Query quien se encarga del formato adecuado para el motor en cuestión. Observa que debes poner AsDate y no Value.
Si quieres que sea el mismo MySQL el que asigne la fecha usa la función curdate:
Código SQL
[-]
INSERT legajo, duracion, dia INTO tiempotrabajado
VALUES
(:leg, :dura, curdate())
// Saludos