Hola totote, para saber el numero de filas directamente de la forma que estas leyendo no se puede, solo si recorres todo "while (not Eof(Archivo)).." y guardandolo en algún acumulador puedes obtenerlo osea al final, en ese caso también te serviría el StringGrid.RowCount que tienes al salir del While, pero creo que tu quieres obtenerlo antes para eso puedes utilizar un StringList y cargarlo ahí, inclusive puedes leer desde ahí.
Código Delphi
[-]
sl := TStringList.Create;
sl.LoadFromFile('TuArchivo');
showmessage('La cantidad de líneas es: '+IntToStr(sl.Count));
Saluditos