El problema esta en el uso de las comillas simples y dobles, esto es algo horrible pero deberia funcionarte bastante bien.
Código:
String k = '"';
Query1->SQL->Clear();
Query1->SQL->Add("SELECT * FROM basededatos.tabla WHERE campo LIKE" + k + "%" + Componente1->Text + "%" + k);
Query1->Open();
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Nunca esta de más volver a ver la "Guia de Estilo" o "La Otra Guia de Estilo". Recuerda siempre usar los "Tags" para una mejor legibilidad de tu código.
Cuando miras fijamente al abismo, este te devuelve la mirada
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