Estás cometiendo un error básico que muchos de nosotros cometimos cuando empezamos en esto.
Tienes que entender que el código PHP y el código HTML viven el lugares distintos, aunque se mezclen en el mismo archivo. Cuando el navegador recibe tu página HTML, ya el código PHP no existe, ese se queda en el servidor web. Entonces, desde un botón de tu página no puedes ejecutar directamente una función de php. Sólamente podrás ejecutar código javascript, que, ése sí, corre en el navegador.
Si no mal entiendo el código que pones, lo que tú tienes es un formulario con datos que vas a guardar en tu base. Entonces, lo que debes hacer es esto:
1. Quitar el evento onclick de tu botón. No lo necesitas.
2. En la definición del formulario pones la propiedad action para que apunte a un script php:
Código:
<form name='agregarUni' method='post' action='agregar-universidad.php'>
3. En este script mandas llamar tu función agregar_uni.
// Saludos