La solución a este problema ha sido añadir al fichero .htacces del servidor WEB donde está el wordpress el siguiente texto:
Código:
RewriteRule ^wp-json/.* - [E=HTTP_AUTHORIZATION:%{HTTP:Authorization},L]
El problema venía dado al autenticar con auth1 a través de REST Debuger, la cabecera no llegaba completa y por tanto no había forma de validar acceso. Con esta linea de código permitimos la autorización básica y entonces si que ya podemos realizar los post y puts correspondientes.