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Existe un error al definir el array, ya que empieza en la posición 1 y en ejecución la primera vez que pasa por:

Código Delphi [-]
   Tabla[i,j]:= Variable;

i y j valen 0 (ya que no se han inicializado); De ahí que te "salte" el error de "Access Voilation"; Además para que salga el mensaje de error en el último IF deberías colocar:

Código Delphi [-]
   if(contador_variable >= 3)

El código final quedaría algo así:

Código Delphi [-]
 procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
 begin
   if(contador_variable < 3)  //este tres es porque quiero que acepte
     //un numero determinado de variables
 
     then begin
   //1.- Se guarda la variable y su valor en la tabla
   //2.- Se incrementa el contador porque solo seran tres variables las que se puedan recibir
 
   contador_variable:=contador_variable+1;
   ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
   //SE GUARDA LA VARIABLE Y SU VALOR EN LA TABLA
 
   Variable:= Edit1.Text;
   Valor:= Edit2.Text;
 
 
   // aqui es donde ya no sé como guardar el nombre de la variable en una celda y su valor en la celda de junto... lo que se me ocurre es algo así:
 
     Tabla[i,j]:= Variable;
     j:=j+1;
     Tabla[i,j]:= Valor;
   //pero no sé si se pueda y otra cosa ¿como imprimo los valores de la tabla en un TEdit, por ejemplo? esto para poder comprobar que se guardaron los datos correctos y en los sitios correctos
 
   ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
 
   //3.- Se limpia el formulario, listo para recibir otra variable
    ListBox1.Items.Add('Var:' + Edit1.Text + '-------Valor:' + Edit2.Text);
    //ValueListEditor1.keys[Edit1.Text];
 
   end;
 
   if(contador_variable>=3)
   then begin
   //Mostrar mensaje de que solo se pueden recibir X variables
   ShowMessage ('No es posible declarar más variables');
 
   end;
 
  // Limpiar los edit 1 y 2
  Edit1.Text:= '';
  Edit2.Text:= '';
 
 end;
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