[[AgustinOrtu]]

Ok bien, pasemos a analizar el codigo nuevo, primero con la funcion Caracter

Código Delphi [-]
Function Caracter(c:char):integer;
var n:integer;
begin
  case c of
  '0'..'9':'Digito'
  'A'..'Z':'Letra mayuscula'
  'a'..'z':'Letra minuscula';
  else 'Caracter especial';
  end;
end;

1) Por que declaras una variale "n" que nunca utilizas?
2) Por que dices que el tipo de retorno de tu funcion es un entero?
3) La sentencia case..of esta sintacticamente mal escrita. Te faltan puntos y comas y ademas el cuerpo para cada opcion del case debe ser una sentencia Delphi, y vos estas poniendo un string literal

Creo que lo que quisiste hacer es esto:

Código Delphi [-]
function Caracter(const c: Char): string;
begin
  case c of
    '0'..'9': Result := 'Digito';
    'A'..'Z': Result := 'Letra mayuscula';
    'a'..'z': Result := 'Letra minuscula';
  else
    Result := 'Caracter especial';
  end;
end;

Ahora la segunda parte:

Código Delphi [-]
procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
var n:integer;
begin
 val(Edit1.Text,n);
 n:=Caracter(c);
 Edit2.Text:=FloatToStr(n);
end;

1) Por que utilizas la funcion Val? Sabes lo que hace? Chequea la documentacion, link

2) Mas alla de que la funcion Caracter tendria mas sentido si devuelve un string, porque en este caso te guardas el resultado en una variable n de tipo entero y luego la muestras en un Edit usando FloatToStr (que se usa para convertir numeros reales y no enteros)

En realidad este codigo del boton fue el que mas me confundio, que es lo que intentaste hacer?

El codigo que publicaste ahora lo escribiste perfecto! Pör que al pasarlo a utilizar la funcion cambio tanto el codigo? Lo unico que tenes que hacer es asignar un string en Edit2.Text llamando a una funcion, asi:

Código Delphi [-]
procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
begin
  Edit2.Text := Caracter(Edit1.Text[1]);
end;

O si te resulta mas facil hacerlo en "mas pasos":

Código Delphi [-]
procedure TForm1.BitBtn1Click(Sender: TObject);
var
  c: Char;
begin
  c := Edit1.Text[1];
  Edit2.Text := Caracter(c);
end;

Fijate que este ultimo codigo es muy parecido a lo que publicaste al final, simplemente se translada a una funcion la parte que calcula el string que necesitas mostrar

Te recomiendo que pases por aca: Material para nuevos en Delphi en donde hay varios links que te pueden interesar si queres aprender las cosas mas basicas