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Empezado por seccion_31

keys ...

procedure TfEmitidas.emitidasHTTPWebNode1BeforePost(
  const HTTPReqResp: THTTPReqResp; Data: Pointer);
var
     Store : IStore;
     Certs : ICertificates;
     Cert : ICertificate2;
     CertContext : ICertContext;
     PCertContext : PCCERT_CONTEXT;
     V : OleVariant;
 const
     INTERNET_OPTION_CLIENT_CERT_CONTEXT = 84;
 begin

     V:='  ***  EL NOMBRE DE TU CERTIFICADO ***';

     Store := CoStore.Create;
     Store.Open(CAPICOM_CURRENT_USER_STORE, 'MY',CAPICOM_STORE_OPEN_MAXIMUM_ALLOWED );
     Certs:=Store.Certificates.Find(CAPICOM_CERTIFICATE_FIND_SUBJECT_NAME,V,False ); { Buscar certificado por nombre }
     if Certs.Count > 0 then
     begin
         Cert:=IInterface(Certs.Item[1]) as ICertificate2;
         CertContext:=Cert as ICertContext;
         CertContext.Get_CertContext(Integer(PCertContext));
         if InternetSetOption(Data,INTERNET_OPTION_CLIENT_CERT_CONTEXT,PCertContext,Sizeof(CERT_CONTEXT)) = False then
         begin
             ShowMessage( 'Internet SSL certificate. Something went wrong' );
         end;
     end;
 end;

A parte de poder buscar el certificado en el store como en el ejemplo anterior, que funciona perfectamente (muchas gracias por el post!)
también he visto que hay la opción de poder leer el certificado desde un fichero:

Código Delphi [-]

procedure SetCertificate(const FileName, Password: string; var Data: Pointer);
var
  Cert : ICertificate2;
  CertContext : ICertContext;
  PCertContext : PCCERT_CONTEXT;
begin
  try
    Cert := CoCertificate.Create;
  except
    on E: EOleSysError  do
      raise Exception.Create('CAPICOM.DLL is not registered')
  end;

  Cert.Load(FileName, Password, CAPICOM_KEY_STORAGE_EXPORTABLE, CAPICOM_LOCAL_MACHINE_KEY);
  CertContext := Cert as ICertContext;
  CertContext.Get_CertContext(Integer(PCertContext));
  if InternetSetOption(Data, INTERNET_OPTION_CLIENT_CERT_CONTEXT, PCertContext, Sizeof(CERT_CONTEXT)) = False then
    raise Exception.Create ( 'Error setting "' + FileName + '" certificate in web service' )
end;

procedure TfEmitidas.emitidasHTTPWebNode1BeforePost(const HTTPReqResp: THTTPReqResp; Data: Pointer);
begin
  SetCertificate('', '', Data);
end;

P.D. Muchas gracias a todos los que colaboráis en este forum, que me habéis ayudado muchísimo en afrontar este tema.