Que es lo que necesitas exactamente? Comunicacion mediante sockets? Debes desarrollar dos programas distintos (dos exes distintos vamos) uno es el servidor y el otro el cliente.
Busca informacion sobre TServerSocket y TClientSocket
Algunos link de interes (busque bastante rapido pero es un comienzo):
DocWiki
HackerDude
Delphi Sources
YouTube
Zarko Gajic
En el blog de Seoane hay un ejemplo de servidor UDP (tal vez te sirva)
Blog de Seoane
O la otra opcion es utilizar componentes Indy:
Delphi al Limite
..tambien la libreria Synapse
Delphi al Limite - Synapse I
TApplication no sirve para crear "otra aplicacion hija" desde la que estas desarrollando, deberias leer la documentacion oficial para despejar dudas:
DocWiki TApplication
PD: Por cierto, crear un ejecutable hijo y que haga todo lo que el padre le diga? suena justo como lo que ando buscando para no tener que trabajar mas y que se hagan solos los programas
