Eso es algo de "dudosa" legalidad en según qué países.
De todas formas, creo que es más simple instalar un proxy y guardar un log con todas las peticiones.
Se me ocurre que puedas usar una económica raspberry que haga de servidor proxy, y será este dispositivo el que esté conectado al router y servirá todas las peticiones de cualquier ordenador, tablet, smartphone de la red de casa.
Hay muchos tutoriales, por ejemplo,
este.