Debes instalar el BDE (Borland Database Engine) en cada equipo que utilice tu aplicación.
Una manera de hacer esto es creando un programa de instalación con el Install Shield Express que viene incluido con Delphi ya que te permite especificarle que tu aplicación utiliza el BDE y se encarga de instalar lo necesario.
Otra manera, creo, es bajando del sitio de Borland la última actualización que haya para el BDE e instalarla en los otros equipos.
// Saludos
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