Si no quieres usar parámetros, (aunque deberías, ya que es más cómodo y elegante), puedes hacer esto otro, claro que debes dar 2 parametros fecha inicial y fecha final
Código Delphi
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Query1.SQL.Add('Where Fecha between ' + quotedstr(Edit1.Text) +' and ' + quotedstr(Edit2.text);
Uniendo la técnica de
Nuria con esta, te podría quedar algo así
Código Delphi
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Query1.SQL.Add('Where Fecha between :FecIni and FecFin ') ;
Query1.ParamByName('FecIni').AsDate := StrToDate(Edit1.Text);
Query1.ParamByName('FecFin').AsDate := StrToDate(Edit2.Text);
Query1.Active := True;
Como sugerencia, te diría que para introducir fechas uses un TdateTimePicker o bien el que trae las RxLibs (es un control para bases de datos), así te quitarás los problemas de fechas incorrectas.
El siguiente paso es verificar que tu motor de bases de datos recibe la fecha en el mismo formato de fechas que tu quieres dd/mm/yyyy o bien mm/dd/yyyy. La función FormatDateTime te puede ayudar, modificando los parámetros del SQL a .AsString para más comodidad.
Espero te ayude.
Saludos