Bueno, pues está claro que requieres el evento OnDblClick del ListBox.
Para acceder a los ítemes usas ListBox.Items[i] donde I es el índice del elemento que deseas, que en este caso será ListBox.SelectedIndex.
Asignas el valor al Edit mediante su propiedad Edit.Text.
Observación: En el evento OnDblClick verifica que realmente se haya seleccionado un elemento:
if ListBox.ItemIndex <> -1 then
// Saludos
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