[Garada]

He conseguido hacerlo, pero no muy elegantemente.

Delphi no da ninguna oportunidad para cargar un certificado, sólo elegir de la lista de instalados en el equipo.
La clase que se ocupa de todo no es pública y no se puede acceder a ella.

En un foro en inglés alguien comentó que parcheaba modificando las VMT (Virtual Method Table) para que llamara a su función. Pero eso se escapa de mis posibilidades.

El método bruto es copiar la unidad System.Net.HttpClient.Win en la carpeta de tu proyecto y Delphi la usará en vez de la suya.
El archivo está en "C:\Program Files (x86)\Embarcadero\Studio\22.0\source\rtl\net\System.Net.HttpClient.Win.pas"

En tu proyecto, en el evento HTTPRIO1HTTPWebNode1NeedClientCertificate pones el parametro AnIndex a cero. Con eso le indicas que quieres usar el primer certificado ya que si lo dejas como viene (-1) indicas que no elijes ninguno y no saltará la función que modificamos para cargar el certificado.

Código Delphi [-]
procedure TformMain.HTTPRIO1HTTPWebNode1NeedClientCertificate(
  const Sender: TObject; const ARequest: TURLRequest;
  const ACertificateList: TCertificateList; var AnIndex: Integer);
begin
  AnIndex := 0;
end;

Y en la unidad que copiaste, System.Net.HttpClient.Win buscas la función TWinHTTPClient.DoClientCertificateAccepted y le pones el código que se usaba con el D2010

Código Delphi [-]
function TWinHTTPClient.DoClientCertificateAccepted(const ARequest: THTTPRequest; const AnIndex: Integer): Boolean;

  procedure CheckError(Puntero: Pointer);
  begin
    if not Assigned(Puntero) then
      RaiseLastOSError;
  end;

const
  CERT_COMPARE_HAS_PRIVATE_KEY        = 21;
  CERT_FIND_HAS_PRIVATE_KEY           = CERT_COMPARE_HAS_PRIVATE_KEY shl CERT_COMPARE_SHIFT;

  Pass = 'LaContraseña';
var
  pStore: HCERTSTORE;
  pCert: PCERT_CONTEXT;
  DataBlob: CRYPT_DATA_BLOB;
  PFX: TBytes;

  LRequest: TWinHTTPRequest;
begin
  pStore := nil;
  pCert := nil;

  PFX := TFile.ReadAllBytes('certificado.pfx');

  try
    DataBlob.cbData := Length(PFX);
    DataBlob.pbData := @PFX[0];

    // Almacen temporal con el contenido del PFX
    pStore := PFXImportCertStore(@DataBlob, PWideChar(Pass), 0);
    CheckError(pStore);

    // Buscar un certificado con clave privada
    // Solo debería haber uno
    pCert := CertFindCertificateInStore(pStore,
                                        X509_ASN_ENCODING,
                                        0,
                                        CERT_FIND_HAS_PRIVATE_KEY, //CERT_FIND_ANY,
                                        nil,
                                        nil);
    CheckError(pCert);

    // Pasarlo al servicio, aquí está el equivalente al antiguo data
    LRequest := TWinHTTPRequest(ARequest);
    Result := WinHttpSetOption(LRequest.FWRequest, WINHTTP_OPTION_CLIENT_CERT_CONTEXT, pCert, SizeOf(CERT_CONTEXT));
  finally
    if Assigned(pCert) then
      CertFreeCertificateContext(pCert);

    if Assigned(pStore) then
      CertCloseStore(pStore, 0);
  end;
end;