¿Exactamente cual es el problema?
No lo he mirado en detalle, pero parece que lo que está haciendo en realizar una animación entre 2 imágenes utilizando un TFloatAnimation (dentro de un TRotateCrumpleTransitionEffect).
Es algo simple.
Además lo que ha añadido en ese proyecto es que al iniciar el cambio de pestaña, toma capturas de pantalla de los TTabSheet, por lo se reduce a hacer las capturas antes de la animación.
Te adjunto un pequeño ejemplo de la animación.