Puedes hacerlo con un UPDATE sencillo, no necesariamete un procedimiento almacenado
Código SQL
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UPDATE PERSONAS
SET NOMBRE = (SELECT T1.NOMBRE
FROM PERSONAS T1
WHERE T1.ID = (SELECT MIN(T2.ID)
FROM PERSONAS T2
WHERE T2.ID > ID)
)
WHERE LEN(NOMBRE) < 10
Saludos!