Hola,
Tendrás que utilizar una ruta "relativa" a tu aplicación. De este modo, esté en el ordenador que esté, la imagen (si existe) se cargará. ¿Cómo usar una ruta relativa a tu aplicación? Bueno. Hay funciones que te echan una mano. Por ejemplo, supongamos que tienes una carpeta de nombre "img" en el directorio en que se encuentra el ejecutable de tu aplicación.
Si utilizas la función "ExtractFilePath" pasándole como parámetro tu ejecuable (Application.ExeName) podrías codificar algo como esto:
Código Delphi
[-]
var
rutaImagen: string;
begin
rutaImagen := ExtractFilePath(Application.ExeName) +'img\'+ 'nombre-imagen.jpg';
Image1.LoadFromFile(rutaImagen);
end;
¿Coges la idea? Es muy sencillo. Se trata de partir de la ruta de tu ejecutable, es decir, del directorio en donde este se encuentre. A partir de ahí puedes utilizar los archivos y carpetas de dicho directorio de forma que no tengas que construir una ruta "absoluta" del tipo "C:\Archivos de programa\..." porque, evidentemente, estas rutas pueden ser válidas en tu ordenador, pero, no tienen por qué serlo en todos.