Después de dare muchas vueltas, encontré la solución. Dejo aquí el código por si a alguien le viene bien.
Código:
TIdAttachment *Adjunto; // Añdo esta línea
fMenu->MenCor->MessageParts->Clear();
fMenu->MenCor->Recipients->Clear();
fMenu->MenCor->CCList->Clear();
fMenu->MenCor->BccList->Clear();
fMenu->MenCor->ClearBody();
fMenu->MenCor->Subject = fDatCor->Asunto->Text;
fMenu->MenCor->Body->Text = fDatCor->Texto->Text;
if (fDatCor->Firma->Lines->Count > 0)
fMenu->MenCor->Body->Text = fMenu->MenCor->Body->Text + "\n-----" + fDatCor->Firma->Text;
if (fDatCor->Adjuntos->Items->Count > 0)
for (nItem = 0; nItem < fDatCor->Adjuntos->Items->Count; nItem ++)
if (FileExists(fDatCor->Adjuntos->Items->Item[nItem]->SubItems->Strings[0]))
{
Adjunto = new TIdAttachmentFile(fMenu->MenCor->MessageParts, fDatCor->Adjuntos->Items->Item[nItem]->SubItems->Strings[0]);
Adjunto->ContentDisposition = "attachment";
Adjunto->ExtraHeaders->Values["content-id"] = (ExtractFileName(fDatCor->Adjuntos->Items->Item[nItem]->SubItems->Strings[0]));
Adjunto->Name = ExtractFileName(fDatCor->Adjuntos->Items->Item[nItem]->SubItems->Strings[0]);
Adjunto->DisplayName = ExtractFileName(fDatCor->Adjuntos->Items->Item[nItem]->SubItems->Strings[0]);
}