El problema puede ser que la descarga del archivo se inicie por medio de javascript, como el componente TIdHttp no interpreta el contenido de lo que descarga y mucho menos los scripts que contiene, no es capaz de iniciar la descarga del archivo.
Lo primero seria saber como se inicia realmente esa descarga, para eso analiza el código fuente de la pagina web. Si aun así no encuentras lo que buscas, utiliza un proxy para analizar la comunicación entre el navegador y el servidor web. Un buen proxy es
http://www.fiddlertool.com/