Piensa que los DGBrids simplemente son visualizaciones de datos que vienen de una tabla o consulta, pr lo tanto para copiar datos de un DBGrid a otro , como tú dices, en relaidad debes pensar en copiar el registro de una tabla a otra.
Basta con que hagas un Appen en la Tabla destino, Rellenes los datos del registro con los que hay en el registro activo de la primera tabla; Podría ser algo así:
Código Delphi
[-]
Tabla2.FieldByName('Codigo').AsInteger := Tabla1.FieldByName('Codigo').AsInteger;
Tabla2.FieldByName('Nombre').AsString := Tabla1.FieldByName('Nombre').AsString;
...
Y cuando acabes hacer un Post de la segunda tabla.