Hola Kurono.
Probá de este modo:
Todo el texto.
Código Delphi
[-]
ClipBoard.Clear; Memo1.SelectAll;
Memo1.CopyToClipboard;
Parte del texto.
Código Delphi
[-]
ClipBoard.Clear; Memo1.SelStart:= 10; Memo1.SelLength:= 5; Memo1.CopyToClipboard;
Un saludo.