[[duilioisola]]

También puedes ir acumulando y contando los valores válidos en la variable x y en otra variable contador:

Código Delphi [-]
procedure TPromediometal.Button2Click(Sender: TObject);
var
c1,c2,c3,c4,c5,c6: integer;
aux: real;
x: real;
contador : integer;
begin
   // En x voy acumulando los Edits válidos
   // En contador voy contanto cuantos Edits son válidos

   // Inicializo x y contador
   x := 0;
   contador := 0;

   // Me fijo si se puede convertir el Edit1. 
   // Si se puede la funcion devuelve True y aux contendrá el valor en formato Real
   if (TryStrToFloat(Edit1.Text, aux)) then
   begin
      x := x + aux;
      contador := contador + 1;
   end;

   // Hago lo mismo con todos los Edits
   if (TryStrToFloat(Edit2.Text, aux)) then
   begin
      x := x + aux;
      contador := contador + 1;
   end;

[...]

   // Para evitar una división por 0, si no se rellenó ningún Edit.
   if (contador <> 0) then
   begin
      // Aqui tienes el valor y puedes mostrarlo
      x := x / contador;
[...]
   end
   else
   begin
      // Si entramos aqué hay un error. No se han rellenado los Edits o se han rellenado con valores inválidos
[...]
   end;
end;

PD: Te he resuelto la taréa, solo porque veo que haz puesto empeño. (Hay otra gente que viene con el enunciado y espera que le des una función terminada y probada)
De todos modos, te veo un poco verde en el manejo de los componentes visuales y sus eventos (Edits, Botonoes, etc.).
Deberías leer un poco más sobre el tema. Aquí verás un ejemplo de como crear un botón y responder al evento OnClick (cuando se presiona).

Sigue practicando y diviértete mucho con Delphi!