[Mick]

Prueba a posicionarte al final del
archivo antes de escribir:

var
  F : TFileStream;
  S : String;
begin
 F := TFileStream.Create('C:\archivo.xxx', MODO);
 try
    S := 'Hola';
    F.Seek(0,soFromEnd);
    F.Write(S, Length(S));
 finally
    F.Free;
 end;
end;

Salud2 !!!