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Puedes hacerlo con un UPDATE sencillo, no necesariamete un procedimiento almacenado

Código SQL [-]
UPDATE PERSONAS
SET NOMBRE = (SELECT T1.NOMBRE 
                FROM PERSONAS T1
               WHERE T1.ID = (SELECT MIN(T2.ID) 
                                FROM PERSONAS T2
                               WHERE T2.ID > ID)
             )
WHERE LEN(NOMBRE) < 10

Saludos!