Me respondo a mí mismo...
Las respuestas al envío de la petición REST vienen en el Header de la respuesta. Concretamente en estos valores:
Código Delphi
[-]
if AResponse.ContainsHeader('eus-bizkaia-n3-mensaje-respuesta') then
memo2.Lines.Append(AResponse.HeaderValue['eus-bizkaia-n3-mensaje-respuesta']);
if AResponse.ContainsHeader('eus-bizkaia-n3-codigo-respuesta') then
memo2.Lines.Append(AResponse.HeaderValue['eus-bizkaia-n3-codigo-respuesta']);
if AResponse.ContainsHeader('eus-bizkaia-n3-tipo-respuesta') then
memo2.Lines.Append(AResponse.HeaderValue['eus-bizkaia-n3-tipo-respuesta']);
Ahora ya consigo ver los distintos motivos de error en los envíos.