Hola
Algunos router tienen su programa de configuracion, no necesariamente por explorer, hay que buscar.
Si no se abre el puerto en el router no se puede conectar, lo curioso es que comentas que si puedes conectar en red, si el router genera la ip, es extraño.
Saludos

Egostar te ha dado la solución, desde el router tienes que indicar que cuando alguien entra en la ip con un puerto determinado lo redirija a la ip local del ordenador que tiene mysql. Debes configurar el servicio DMZ de tu router.

Debes tener en cuenta que la ip no puede ser dinámica tiene que ser FIJA.

También debes configurar la base de datos mysql para pueda ser accesible desde ordenadores externos.

Aunque la mejor solución y la más económica es que utilices servidores externos de MYSQL, así te evitarás tener un equipo encendido en casa.

Si quieres una base de datos gratuita y 24 h operativa, te recomiendo que entres en http://www.freesql.org/

Espero que tengas suerte.
Saludos.