Hay varias formas de lograrlo, usando las API de windows, los Indy u otras librerias como Synapse, etc... (yo personalmente uso Synapse :P).
Un ejemplo sencillo de como bajar y guardar en disco un fichero bajado usando Indy (q van con el Delphi):
Solo necesitas poner un "TIdHTTP" en el formulario.
Código Delphi
[-]procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
Destino: TFileStream;
begin
Destino:=TFileStream.Create('c:\readme.txt', fmCreate);
try
IdHTTP1.Get('http://openwebmail.org/openwebmail/doc/readme.txt', Destino);
finally
Destino.Free;
end;
end;
Con esto ya puedes empezar a investigar por tu cuenta y completarlo!
P.D.: La URL q he utilizado para el ejemplo, es el primer link de la busqueda de google "readme.txt" xD