[__cadetill]

Si quieres que el botón 2 haga sólo lo que hace el botón 1, no hace falta que sigas leyendo, la respuesta de Angel es más que válida, pero si quieres que haga lo del botón 1 más otras tareas, te aconsejo este modelo:

procedure (o function) MiProcedimiento (con parámetros si fueran necesarios);
begin
  // aquí hacer lo del botón 1
end;

procedure MiForm.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  MiProcedimiento;
end;

procedure MiForm.Button2Click(Sender: TObject);
begin
  // instrucciones que sean
......
  MiProcedimiento;

  // y más instrucciones si son necesarias
.......
end;

Espero te sirva