Todos los componentes deberán tener el mismo SessionName (que para algo está), suerte que eso no lo has tocado y está configurado por defecto
.
Se puede crear un "alias del BDE" (en el panel de control con el Database Administrator) y en el DatabaseName de todos los TTables/querys/Tdatabase pones ese alias definido.
También se puede crear por código con AddStandardAlias, busca en el foro.
Quizás sea complicarte la vida mucho. Guardando la ruta a tu Base de datos en un archivo .ini y rescatándolo en tiempo de ejecución, va que chuta
.
No olvides distribuir el BDE junto con tu aplicación. Busca en el foro por "instalar BDE" o "minireg"
Saludos