Hola,
Si no entendí mal, estás usando el evento "OnPopupMenu". Si no recuerdo mal, el "Sender" en este caso es quien "levanta el menú", es decir, en tu caso alguno de los botones con un "PopupMenu" asociado. Si esto es así y no me equivoco, entonces podrías averiguar el nombre del botón utilizando el "Sender", mediante algo como esto:
Código Delphi
[-]
var
btnName: string;
begin
btnName := EmptyStr;
if (Sender is TButton) then begin
btnName := TButton(Sender).Name;
end;
end;