[marto]

Haciendo un borrado de un registro se pueden producir multitud de errores, pero como te comenta Lepe, el sistema que uses para acceder a tu BD es fundamental. En cualquier caso, el sistema de control de errores de Delphi no es la chapuza de VB. Si se produce calquier excepición en tu código, esta cortará el flujo de ejecución hasta que encuentre un bloque try que la controle. En ese momento se ejecutará lo que tengas en el except del bloque. Por ejemplo

try
  algo_que_produce_error;
except
  ShowMessage('trata de arrancarlo Carlos!!!!');
end;

se mostrará el mensaje se produzca el error que sea. Si quieres capturar cualquier excepcion y saber información del error puedes hacer lo siguiente:

try
  algo_que_produce_error;
except
  on E: Exception do
    ShowMessage(E.Message);
end;

Esta técnica te permite capturar en E cualquier excepción del tipo Exception, es decir qualquiera. E apunta a la excepción, por lo tanto puedes acceder a sus propiedades.
Si quieres capturar sólo un tipo de excepción puedes hacer algo así:

try
  algo_que_produce_error;
except
  on E: EDBException do 
    ShowMessage(E.Message);
  else
    raise;
end;

Este ejemplo captura las excepciones de tipo EDBException (que es una clase que hereda de Exception) y muestra su mensaje, si se produce otro tipo de excepción, la relanza.