[*Caro*]

Hola Elite237, no te guarda porque tu función VerificarGuardar no esta devolviendo ningún resultado, por lo tanto te devolvera siempre True y al preguntar tu por False nunca entrara a ese bloque.

Tu función debería quedar así:

Código Delphi [-]
function TForm1.VerificarGuardar: Boolean;
begin
  with query1 do
   begin
     close;
     sql.clear;
     sql.add('select * from tevaluacion');
     sql.add('where eval_descripcion='''+ednombre.text+'''');
     open;
     if recordcount<>0 then
     begin    
      application.messagebox('El nombre de la evaluacion ya existe','Error de entrada',mb_Ok+mb_IconExclamation);
      Result := True;
     end
    else
     Result := False;
   end;
end;

inclusive puedes preguntar por Query.IsEmpty.

Código Delphi [-]
   ........................
    open;
     if Not IsEmpty then
     begin    
      application.messagebox('El nombre de la evaluacion ya existe','Error de entrada',mb_Ok+mb_IconExclamation);
      Result := True;
     end
    else
     Result := False; //No existe
  ......................

Sobre tus ultimas preguntas, :nom significa que nom es un parametro, y al hacer query2.ParamByName('Nom').AsString:= ednombre.text; estamos llenando con el valor de ednombre.text ese parametro. Y sobre query2.fields[0] , si es un arreglo de campos, cuando tu haces en la consulta select * From... , con ese * te trae todos los campos en el orden que los tienes en tu tabla "Fields[0]" se refiere al primer campo. En en tu caso ya no sería necesario ese if "If query2.Fields[0].AsString = ednombre.text then
", ya que en tu consulta estas filtrando por ese nombre y solo sería preguntar si hay resultados o no con IsEmpty.

Saluditos