Hola Vlady, supongo que te refieres al día que cae el primer día de mes, para ello puedes utilizar la función DayOfTheWeek que te da el día de la semana de un fecha X.
Código Delphi
[-]
var
Dia : Integer;
FechaIni : TDateTime;
begin
FechaIni := EncodeDate(2008,7,1);
Dia := DayOfTheWeek(FechaIni);
Tu le pasas como parametros el mes y año, para el ultimo día de mes priemro tendrías que obtener cuantos días trae ese mes con EndOfTheMonth.
Edito.- Se me ha ido decirte que DayOfTheWeek te va ha devolver un valor entre 1 y 7, donde 1 es lunes, 7 domingo y asi respectivamente.
Saluditos