[[escafandra]]

... Y si no te importa usar algo de la VCL en tu función InternetReadWeb, entonces la puedes diseñar así:

String InternetReadWeb(char* URL)
{
  HINTERNET hNet;
  HINTERNET hUrl;
  char  Buffer;
  DWORD BytesRead = 0;
  String Text = "";
  bool NoError;

  if(InternetAttemptConnect(0) != ERROR_SUCCESS) return Text;

  hNet = InternetOpen("agent", INTERNET_OPEN_TYPE_PRECONFIG, NULL, NULL, 0);
  if (hNet){
    hUrl = InternetOpenUrl(hNet, URL, NULL, 0, INTERNET_FLAG_RELOAD, 0);
    if (hUrl){
      // Lee la pagina web...
      for(int ind=0; ; ind+=BytesRead){
        NoError = InternetReadFile(hUrl, &Buffer, sizeof(BYTE), &BytesRead);
        if(NoError && BytesRead==0) break;
        Text = Text + Buffer;
      }
      InternetCloseHandle(hUrl);
    }
    InternetCloseHandle(hNet);
  }

  return Text;
}

Para usarla de esta manera:

   RichEdit1->Text = InternetReadWeb("http://www.clubdelphi.com/");

Con menos código y quizás mas cómoda...

Se me olvidaba, en cualquiera de las opciones del uso de estas API, debes incluir en tu proyecto la librería inet.lib.

Saludos.