Me da la sensación de que no te has explicado bien. Pienso que lo que realmente deseas es aprender a utilizar el TTrayIcon.
En la paleta denominada Samples del Builder, tienes un componente llamado TTrayIcon que es el que se encarga de colocar el icono de tu aplicación en el SysTray (barra donde está el reloj...). Insertando el componente en tu formulario, consigues esa característica. Tienes una aplicación de ejemplo en Builder\Examples\Controls\Traydemo para que veas como funciona este componente.
El problema de este componente es que es un ejemplo y no está bien terminado, adolece de algún error y falta de funcionalidad. En lo básico funciona bien.
Este hilo surgió como pregunta de uno de los
bugs que tiene, y a raiz de este surgieron mas dudas. Leelo detenidamente después de jugar con el componente original. Tras hacer esto, muchas de tus dudas quedarán aclaradas.
Saludos.