[[Caral]]

Hola
El error lo dice todo (error de escritura).
Esto puede suceder por multiples razones.
1- los campos no son los adecuados, osea en este caso string.
2- algun campo esta vacio.
3- la sentencia sql no es correcta.
Volvamos:
Si los campos son correctos entonces no se necesita QuotedStr.
Si la sentencia esta incorrecta lo podemos averiguar facilmente con un mensaje, algo asi:

Código Delphi [-]
procedure TFinscripcion.ApeMEExit(Sender: TObject);
begin
    with Query1 do
      begin
        Close;
        SQL.Text:= 'SELECT * FROM BDinscripcion'+
                   'WHERE NomE = '+QuotedStr(NomE.Text)+
                   'AND ApePE = '+QuotedStr(ApePE.Text)+
                   'AND ApeME = '+QuotedStr(ApeME.Text);
        Showmessage(SQL); // aqui nos dirá como esta escrita la sentencia, no nos muestra los datos, solo la sentencia.
        Open;
      
        if not IsEmpty then
          begin
            MessageDlg('Datos EXISTENTE',mtError,[mbOk],0);
            NomE.SetFocus;
          end;
      end;
end;

Si vemos la concatenacion de esta sentencia nos la mostrara asi:

Código SQL [-]
SELECT * FROM BDinscripcionWHERE NomE = Dato1AND ApePE = dato2AND ApeME = dato3

Ves el error???.
No quiero decirlo, prefiero que lo encuentres, asi es como se aprende.
Saludos