Para simplificar las cosas, suponiendo que todo lo haces en windows,
las conexiones, como te han indicado antes, se hacen de dos formas posibles, mediante la IP del servidor o mediante su nombre (hay otra forma, pero mejor lo dejamos de momento).
Ejemplos:
192.168.0.100:c:\datos\basedatos.fdb
elservidor:c:\datos\basedatos.fdb
No valen unidades mapeadas ni nada de eso, la ruta absoluta en relación al servidor.
Por supuesto, firebird debe encontrar abierto el puerto 3050 porque se comunica por él, así que el firewall debe dejar ese puerto abierto.
Luego los parámetros de dbexpress, personalmente no lo he usado nunca, pero si conecta una vez, tiene que conectar todas las veces, no vale eso de una sí, una no.
Y no hay más, es así de simple, no creo que la solución sea formatear un equipo y reinstalar el sistema operativo y todos los programas
.
Yo haría un programita simple, lo básico para que funcione y probaría, y así cuando ya sepa cómo va, entonces copiaría la configuración a tu programa.
Si con esa misma configuración tuvieras problemas con tu programa y con el de prueba fuese bien, quiere decir que el culpable es tu programa.