[ecfisa]

Hola Daniel.

Por lo que interpreto en un CheckListBox tenés cargados los apellidos+nombres de una tabla, en una variable 'apenom' un apellido+nombre y para que un dato sea borrado, son requisitos:

1. Que esté tildado en el CheckListBox.
2. Que el item sea igual al contenido de la variable 'apenom'.

Si no me equivoco, podrías hacer algo así:

Código Delphi [-]
procedure TForm1.btBorraSelecClick(Sender: TObject);
var
  i: Integer;
  Ape,Nom: string;
begin
  with CheckListBox1 do
  begin
    for i:= 0 to Items.Count -1 do
      if (Checked[i])and(Items[i] = apenom) then
        if MessageDlg('¿Desea borrar '+Items[i]+'?',mtConfirmation,[mbYes,mbNo],0)= mrYes then
        begin
          Ape:= Copy(Items[i],1,Pos(' ',Items[i])-1);
          Nom:= Copy(Items[i],Pos(' ',Items[i])+1,MaxInt);
          ADOTabla.Locate('APELLIDO;NOMBRE',VarArrayOf([Nom,Ape]),[loCaseInsensitive]);
          ADOTabla.Delete;
        end;
  end;
end;

Esto siguiendo el planteo que indicas, pero coincido con Casimiro que es más sencillo con una sentencia SQL.

Saludos.