[ecfisa]

Hola.

Retomando la idea de Casimiro, que es léjos la más simple de implementar y tomando en cuenta que la propiedad Lines del TMemo es de tipo TStrings, podrías hacerte una función que cuente las líneas de cualquier archivo de texto:

Código Delphi [-]
function NumeroDeLineas(Nombre: string): Int64;
begin
  if FileExists(Nombre) then
    with TStringList.Create do
    try
      LoadFromFile(Nombre);
      Result:= Count-1;
    finally
      Free;
    end
  else
    Result:= -1;
end;

Un saludo.