[ecfisa]

Hola de nuevo.

Para que funcione tu código tendrías que salir del procedimiento si se cumple la condición Edit1.Text = '' :

Código Delphi [-]
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  if Edit1.Text = '' then
  begin
    messagebox(0,
      PChar('Contraseña Incorrecta'),
      PChar('Aviso'),
      MB_OK);
      Exit;  // <- Salir
  end
  else if Edit1.Text = ('Esta es la Contraseña') then
  begin
    messagebox(0,
      PChar('Contraseña Correcta'),
      PChar('Bienvenido'),
      MB_OK);
      Hide;
      Form2.Show;
  end;
end;

Aunque creo que sería mejor:

Código Delphi [-]
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
begin
  if Edit1.Text <> 'Esta es la Contraseña' then
    messagebox(0,
      PChar('Contraseña Incorrecta'),
      PChar('Aviso'),
      MB_OK)
  else
  begin
    messagebox(0,
      PChar('Contraseña Correcta'),
      PChar('Bienvenido'),
      MB_OK);
      Hide;
      Form2.Show;
  end;
end;

Saludos.