Hola.
Para lo que quieres solo necesitas una pequeña modificación a tu código:
Código Delphi
[-]
AssignFile (MiFichero,(C:\nombre.txt'));
Reset (MiFichero);
While not Eof(MiFichero) do begin
ReadLn(MiFichero,valorsting);
ShowMessage(valorsting);
end;
Esto va leyendo el fichero linea a linea hasta el final, ya puedes adaptarlo a tus necesidades.
Saludos