[ecfisa]

Hola force1758.

Estos son algunas de las formas que podes leer un archivo de texto por líneas (newtron y Neftali ya te mencionaron y ejemplificaron las dos mas ortodóxas)

Con Readln

Código Delphi [-]
var
  txt : TextFile;
  line: string;
begin
  AssignFile(txt, 'C:\nombre.txt');
  Reset(txt);
  while not eof(txt) do
  begin
    Readln(txt,line);
    Memo1.Lines.Add(line); // hacer algo con las lineas
  end;
  CloseFile(txt);
end;

Con TStrings:

Código Delphi [-]
begin
  with TStringList.Create do
  try
    LoadFromFile('C:\nombre.txt');
  finally
    Memo1.Text := Text; // hacer algo con las lineas
    Free;
  end;
end;

Con FileStream:

Código Delphi [-]
var
 s  : string;
begin
  with TFileStream.Create('C:\nombre.txt',fmOpenRead) do
  try
    Seek(0,soFromBeginning);
    SetLength(s, Size);
    Read(Pointer(s)^, Size);
  finally
    Free;
    Memo1.Text := s; // hacer algo con las lineas
  end;
end;

Con MemoryStream

Código Delphi [-]
var
  s : string;
begin
  with TMemoryStream.Create do
  try
    LoadFromFile('C:\nombre.txt');
    Seek(0, soFrombeginning);
    SetLength(s,Size);
    Read(Pointer(s)^, Size);
  finally
    Free;
    Memo1.Text := s;
  end;
end;

Y las combinaciones que con ellas se te ocurran y sea posible implementar.

Saludos.

Edito: Si comparas tu primer código con el de newtron, verás que ademas de no usar un ciclo para la lectura, estás usando Read y no Readln.