[Casimiro Noteví]

Pero tú estás buscando por apellido:

Código SQL [-]
where APELLIDOS like

No puedes encontrar el campo nombre si no lo buscas.

En todo caso, añádelo a la búsqueda:

Código Delphi [-]
Query1.Close;
Query1.SQL.Text := 'select * from tbAmigos where (nombre like :Param1') or (apellidos like :Param2);
Query1.ParamByName('param1').AsString := '%' + Edit1.Text + '%' ;
Query1.ParamByName('param2').AsString := '%' + Edit1.Text + '%' ;    // No sé si es necesario repetirlo, ya que son iguales. Desconozco paradox.
Query1.Open;

Prueba con el código que ha puesto ecfisa.