[Casimiro Noteví]

No sé cómo será con Delphi para Android, pero con otros lenguajes debes solicitar el permiso al usuario.
Algo similar a esto:

Código Delphi [-]
var rp As RuntimePermissions
rp.CheckAndRequest(rp.PERMISSION_WRITE_EXTERNAL_STORAGE)
Wait For Activity_PermissionResult(Permission As String, bSuccess As Boolean)
If bSuccess Then  // ha dado permiso
  // escribir

else
  // no ha dado permiso