¡Buenos días!
Muchas gracias por vuestros consejos. Al final lo arreglamos dando permisos a "todos" para ver el certificado digital, mediante el "Administrador de certificados del equipo". Al hacerlo, desapareció este problema que funcionaba durante un rato y luego dejaba de funcionar. No tenemos muy claro por qué fallaba eso, pero se solucionó.
¡Gracias igualmente por vuestra ayuda!