Iniciando en Bases de Datos

[Cabanyaler]

Hola:

Que me conviene mas? Instalar un servidor MySQL en cada sucursal y conectarse a cada uno segun se requiera? o Bien instalar uno solo en la matriz y de ahi trabajar cada sucursal.

Depende de muchas variables:

La más importante, a mi forma de ver las cosas, es el estado de las conexiones de que dispongas Siempre que tengas buenas comunicaciones (más establilidad que ancho de banda, para tu caso,puesto que supongo que las transacciones tampoco contendrán demasiada información), puedes pensar en poner tres servidores y replicarlos regularmente o por las noches de forma parecida a como te subes o bajas la información con el ftp (o si es SQL con la utilidad de replicación), o bien hacer replicaciones transaccionales y tener la información actualizada en el tiempo real.
Al contrario, puedes instalar un sólo servidor principal y conexionar mediante la red que comentas infinitium (no la conozco), las diferentes delegaciones y trabajar contra la BBDD del central.
¿Ventajas e inconvenientes?, tantos como se te ocurran, por un lado tendrás la deslocalización de los datos (principio del nacimiento de Internet), es decir, entre otras cosas podrás trabajar en dos sitios si te cae uno y viceversa, y del modo centralizado lo tendrás todo en el mismo lugar con lo que si un día no va una conexión central no podrás trabajar en ninguna de las tres. Además el tiempo de respuesta en los servidores locales es del ancho de banda de tu subred, aquí en Espanya (10, 100 Mb o 1Gb), frente al ancho de banda de iNternet si está centralizado.
Por el gobierno de los datos en el caso de la descentralización, MYSQL no lo conozco, pero MSSQL te ofrece la monitorización completa de todos los servidores interconectados, pudiendo trabajar como si te encontrases con el control remoto de las redes XP o W2003.
(Yo tengo esta opción con MSSQL y me funciona perfectamente).

(no me hablen de ADO,dbExpress, etc.)

Pues si te hablaré, , loq ue utilizo son conexiones ADO (las tienes en la pestaña), funcionan de maravilla y son muy faciles de trabajar en simbiosis con MSSQL, por lo que imagino igual de facil que si eliges la opción de MYSQL.

Como le hago para hacer que el servidor pueda consultarse a travez de la conexión Infinitum, digamos que tengo un cliente en mi PC en casa y quiero consultar el servidor que esta en tal oficina ..

Pues aquí lo siento mucho, pero no tengo ni idea, ya que todavía no me he visto en la obligación. Yo trabajo dentro de una intranet propia alquilada a telefónica con routers y demás y de esa configuración se han ocupado otros compañeros que no se encuentran en mi oficina, pero supongo que será montando algún tipo de servidor Web y abriendo puertos, pero esto quizá que te lo explique alguno de los compañeros que andan por aquí entre los que hay verdaderos "amos del calabozo".

Suerte y animo.