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[Gydba]

La diferencia es que una es una función de Delphi y la otra es un comando de consola.

Podrías usar el comando del y pasarle una cadena generada por las propiedades text de los tedits.
Ejemplo (no sé si funciona):

Código Delphi [-]
procedure Proc_Delete();
var
   strPath : String;
   strCommand : String;
begin
   strPath := Edit1.Text + '\' + Edit2.Text;
   strCommand := 'del ' + strPath;
   WinExec(strCommand, SW_HIDE);
end;