Muchas conecciones o una sola???

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Cada conexion/desconexion implica tiempo, por lo que la aplicacion, aunque sea en expresion de milisegundos, debera ir mas lenta. Con relacion a una conexion permanente, el unico problema que puedes tener es si tienes restricciones de licencias (por ejemplo), ya que una conexion inactiva (pero abierta) no debe consumir recursos del servidor.

De hecho, en SQL Server existe un concepto de 'pooled connections' o un pool de conexiones, que funciona mas o menos de la siguiente forma: un usuario realiza una conexion a la base de datos, y al dejar de usarla la conexion queda 'viva' (pooled) en el servidor, de forma tal que si otro cliente (con el mismo usuario,por supuesto) requiere servicios de la base de datos, sql server se ahorra el tiempo de crear/abrir la conexion, reutilizando una de las que ya estan en la cola.